Sem régua nem compasso

Luiz Barco

Os problemas que levaram à formulação do pi.

Aos antigos gregos se atribuem três célebres problemas matemáticos: a trissecção do ângulo (divisão do ângulo em três ângulos da mesma medida), a duplicação do cubo e a quadratura do círculo. Durante muito tempo, eles foram responsáveis por uma mania da qual não escaparam alguns homens de ciência, prontamente acompanhados por uma multidão de insensatos e sonhadores: todos querendo achar a solução com régua e compasso. Essa busca teve sentido até que se estabeleceu uma relação que mostrava a correspondência entre as resoluções de problemas geométricos com esses instrumentos. Assim, as resoluções geométricas, baseadas no espaço físico, foram substituídas pelas soluções algébricas, resumidas a fórmulas e números, o que permite chegar a resultados impossíveis de visualização física.
Dessa maneira, os três problemas, embora de natureza ligeiramente diversa, tiveram suas chances de solução geométricas definitivamente sepultadas. O novo sistema de resolução foi reforçado graças ao trabalho de dois matemáticos: o jovem e brilhante francês Évariste Galois (1811-1832) e o alemão Ferdinand von Lindemann (1852-1939). O primeiro escreveu um trabalho revelou ser impossível executar a trissecção do ângulo e a duplicação do cubo com régua e compasso. Já o segundo demonstrou, em 1882, que o número π (pi) é irracional transcendente, descartando também a idéia da quadratura do círculo com tais instrumentos. Isso, porém, não diminuiu o ardor dos quadradores do círculo, que até hoje oferecem bizarras tentativas de soluções sempre rejeitadas por publicações matemáticas.
Assim, vi com surpresa a notícia, respaldada por uma publicação séria, sobre o trabalho do renomado matemático húngaro Miklós Laczkovich da Universidade Eotvos Loránd, de Budapeste, em que diz ser possível a quadratura do círculo.
Lackovich baseia-se na idéia de que círculo (o interior mais a borda) pode ser cortado num número finito de peças, as quais podem ser rearranjadas na forma de um quadrado com a mesma área. Assim, não apenas o círculo poderia ser enquadrado como também uma grande variedade de figuras. Por que uma idéia tão simples levou tanto tempo para ser usada, causando tanto impacto? Ocorre que as peças são teóricas e suas formulações exigem alta matemática de domínio sofisticado e restrito. A primeira versão dessa idéia foi apresentada em 1925 pelo matemático polonês Alfred Tarski (1902-1983). Um ano antes, ele e seu compatriota Stefan Banach (189-1945) provaram que existe uma forma de dividir uma esfera grande, como um planeta, em partes separadas, sem pontos em comum, a seguir, sem comprimir ou distorcer, montá-la em outra esfera do tamanho de uma bola de gude. Esse resultado, que beira o inacreditável tanto para leigos quanto para matemáticos, repousa na natureza das peças.
Elas não são pedaços sólidos com fronteiras precisas e sim partes difusas e entrelaçadas, cujo volume individual é impossível medir. Somente quando as peças são rearranjadas é que o sólido resultante tem volume mensurável. Tal mágica não é aplicável a figuras planas e aí qualquer reorganização dessas figuras terá sempre a mesma área, já que contidas no mesmo plano. Uma das razões dessa diferença é que os objetos tridimensionais (um cubo, uma esfera) possuem muitos eixos possíveis de rotação. Faltava provar que figuras planas de mesma área podiam ser rearrumadas umas nas outras. Esse é basicamente o resultado do trabalho de Laczkovich, que não se restringe a círculos e quadrados, mas a qualquer figura que tenha fronteiras limitadas. E o mais surpreendente: as peças não precisam girar. Basta movimentá-las vertical e horizontalmente. Porém, se você está entusiasmado com o paradoxo de Banach-Tarski e pensa usá-lo para arrumar a mala na próxima viagem, ou então pegar uma tesoura para cortar as peças de uma figura usando o resultado de Laczkovich, desista. São peças teóricas e como curiosidade saiba que Laczkovich estimou em (o número 1 acompanhando de 50 zeros) o número de pedaços de círculos a ser enquadrado.

Revista Super Interessante n° 024

Solúvel em Água: Fórmula melhor de Vitamina A

Cientistas americanos criaram fórmulas de vitamina A solúveis em água. A diferença entre esta e a vitamina tradicional é permitir que seus excessos tóxicos sejam eliminados na urina.

A partir da sua combinação com derivados da glicose, fórmulas de vitamina A solúveis em água foram criadas por cientistas americanos. A grande vantagem sobre a vitamina tradicional é permitir que seus excessos tóxicos sejam eliminados na urina, em vez de se acumular na gordura. Pesquisas com ratos mostraram que, na modalidade hidrossolúvel, a vitamina causa os mesmos benefícios que na versão solúvel em gordura, como a substancia é encontrada na natureza.

Uma das novas fórmulas talvez substitua o acido retinóico – um derivado da vitamina A famoso por sua ação antiacne e rejuvenescedora, mas que não pode ser usado por gestantes. O bioquímico Bronislaw Polafiewicz, da Universidade de São Paulo, supõem que as novas preparações de vitamina A também ajam com maior rapidez, atravessando mais facilmente as barreiras celulares. Até agora”, lembra o pesquisador, as injeções têm de ser intramusculares, de forma que os músculos liberem a substancia aos poucos; já a vitamina A hidrossolúvel poderá ser injetada diretamente na corrente sanguínea.

Revista Super Interessante n° 024

O que são alimentos liofilizados?

Fernando Carvalho

Trata-se de alimentos desidratados por um processo chamado sublimação. A água das células, congeladas, passa diretamente do estado sólido para o gasoso. Indicado para produtos que tenham elementos sensíveis ao calor, como proteínas e vitaminas, a liofilização conserva as propriedades nutritivas, pois as membranas das células não se rompem com a perda do vapor de água. Na cozinha industrial. Frutas e ovos, por exemplo, são lavados, descascados e fatiados. As carnes, pré-cozidas. A seguir, os alimentos são congelados e colocados em câmaras, cuja temperatura aumenta, enquanto a pressão do ar diminui. Isso faz com que os microcristais de gelo evaporem sem romper as estruturas moleculares, ao contrário do que acontece na desidratação simples. Praticada em pequena escala no Brasil há mais de dez anos, passa agora para a produção de alimentos disponíveis em supermercados.

Revista Super Interessante n° 024

Por que a base da chama do fogo é azul?

Guilherme F.S. Dias

Manifestação visível do fogo, a chama resulta do aquecimento até a incandescência de minúsculas partículas de combustível parcialmente queimado. Sua cor depende do material em combustão e da temperatura. Três áreas distintas constituem a chama. A mais interna que consiste em gás não queimado, é escura e fria. No fino manto azulado que a recobre, o combustível começa a reagir com o ar rico em gases do próprio material queimado. O oxigênio da atmosfera difunde, então, a chama no cone externo, de coloração mais violeta. Devido à presença, em alguns tipos de chama, de partículas incandescentes de hidrocarbono, aquele cone assume aspecto amarelado.

Revista Super Interessante n° 024

Um dia em Woodstock

Érica Montenegro

Dentro de uma fazenda de 2,4 mil km2, no estado de Nova York, nos Estados Unidos, aconteceu o Woodstock, o maior festival de música já realizado. Entre os dias 15 e 18 de agosto de 1969, cerca de 450 mil pessoas reuniram-se para ouvir música e celebrar a paz. Àquela altura, os Estados Unidos já haviam mandado mais de meio milhão de soldados para a Guerra do Vietnã. Crescia entre a juventude americana um movimento de oposição ao conflito e de resistência às convocações militares. Os ideais da contracultura – que incluíam consumo de drogas, amor livre, desapego a bens materiais e vida em comunidades hippies – também ganhavam cada vez mais adeptos. “Nosso estilo de vida – ácido, cabelos compridos, roupas esquisitas, maconha, rock e sexo – é a revolução. A antiga ordem está morrendo”, afirmou, à época, Jerry Rubin, líder do Youth International Party (Yippie), espécie de organização não- governamental que ajudou na promoção do festival.

O Woodstock representou a catarse daquele momento. E as condições ao mesmo tempo idílicas e caóticas em que ele ocorreu – a platéia foi dez vezes maior do que o esperado e teve de compartilhar barracas, comida e água – perpetuaram o festival como sinônimo de hedonismo, juventude e contestação. “O Woodstock refletiu a atitude antiautoritária do fim dos anos 60. Parecia ser o anúncio de uma nova era”, afirma David Szatmary, no livro Rockin’ Time: a Social History of Rock-and-roll (“Rockin’ Time: uma história social do rock”, inédito em português).

Sexo, drogas e rock and roll

Enquanto 32 cantores e bandas se revezavam no palco do festival pacifista...

1. Hora do rush

As estradas de acesso à fazenda ficaram bloqueadas por engarrafamentos de até 30 quilômetros no primeiro dia do festival. Muita gente abandonou os carros pelo caminho e seguiu a pé para os shows. Algumas bandas só chegaram ao local em helicópteros. Já no segundo dia, helicópteros também foram usados pelos organizadores para jogar frutas, comida enlatada e sanduíches para a platéia.

2. Nós vamos invadir

O Woodstock não era gratuito. O ingresso custava 8 dólares para cada um dos dias. Mas, logo no primeiro, as cercas começaram a ser derrubadas pelo público. O festival acabou dando prejuízo aos organizadores (John Roberts, Joel Rosenman, Artie Kornfeld e Michael Lang, todos com menos de 27 anos). Custou 2,4 milhões de dólares – só 1,1 milhão foi arrecadado com a venda de ingressos.

3. Fila para tudo

A estrutura foi preparada para 50 mil pessoas, quase dez vezes menos do que o público que compareceu. Por isso, não havia espaço para acampar, banheiros, telefones, comida ou água suficientes. As filas nos 60 orelhões disponíveis duravam duas horas. As dos 600 banheiros, quase meia hora. Bem no espírito hippie, a galera resolveu tomar banho nua em uma lagoa próxima ao palco.

4. Tá tudo liberado

A fazenda virou território livre para o consumo de drogas. O número de usuários era tamanho que a polícia simplesmente desistiu de fazer apreensões. As mais usadas eram maconha, mescalina e ácido. Entre um show e outro, um hippie pegou o microfone para dar um aviso: o ácido marrom à venda estava causando alucinações indesejadas. Seu conselho: “Tomem apenas a metade”.

5. Paz e amor

Apesar da precariedade da organização, foi uma festa tranquila, com participação até de crianças. Dois nascimentos foram registrados na fazenda. E três mortes, mas nenhuma relacionada à violência: uma overdose de heroína, uma apendicite e um atropelamento por trator. Os hippies não eram bem vistos, mas o bom comportamento deles deixou os moradores das redondezas impressionados.

Bombardeio no hino

Guitarra de Hendrix criticou a guerra.
Escalado para fechar a festa, Jimi Hendrix protagonizou um dos momentos mais memoráveis do festival. Entrou no palco por volta das 9h de segunda-feira, dia 18 de agosto. Naquela hora, havia apenas cerca de 40 mil pessoas na platéia. Os privilegiados assistiram boquiabertos à versão que Hendrix improvisou de “The Star Spangled Banner” – o hino dos Estados Unidos. Com sua guitarra, reproduziu sons de bombas e de helicópteros em meio ao hino numa clara crítica à ação americana no Vietnã. Exatos 11 meses depois, Jimi seria encontrado morto na Inglaterra sufocado pelo próprio vômito, após uma overdose de tranquilizantes.
Astros e estrelas
1º dia:
Richie Havens, Sweetwater, Ravi Shankar, Joan Baez.
2º dia:
Santana, Grateful Dead, Creedence Clearwater Revival, Janis Joplin, Sly and The Family Stone, The Who, Jefferson Airplane.
3º e 4º dias:
Joe Cocker, Ten Years After, The Band, Crosby, Stills, Nash & Young, Jimi Hendrix.

Aventuras na História n° 031

Immanuel Kant: A razão do Universo

Othon Winter e Thierry Gil-Chanut

Há dois séculos e meio, o filósofo Immanuel Kant resolveu escrever sobre astronomia. O livro que ele então produziu ainda é a base do nosso conhecimento sobre a formação do sistema solar.

Quem conhece o pensador alemão Immanuel Kant, que viveu entre 1724 e 1804, sabe que ele foi um dos maiores filósofos de todos os tempos. Autor de livros como Crítica da Razão Pura, ele influenciou decisivamente o pensamento ocidental em áreas como a ética e a estética. O que pouca gente sabe é que ele também foi inovador na astronomia. Em 1755, Kant escreveu História Geral da Natureza e Teoria do Céu, obra em que introduz princípios que até hoje são a base das teorias sobre a formação dos planetas e do sistema solar.
Nascido em Königsberg, na Prússia (hoje Kalinigrado, na Rússia), Kant foi um expoente do Iluminismo. Esse movimento intelectual, que se desenvolveu na Europa dos séculos 17 e 18, valorizava o uso da razão como ferramenta para conhecer o mundo. Foi nesse período que se consolidaram os alicerces de várias áreas do pensamento científico moderno, como a astronomia. Desde a Grécia antiga, acreditava-se que o Universo girava em torno da Terra. O primeiro passo para mudar essa concepção foi dado pelo astrônomo polonês Nicolau Copérnico. Em 1543, ele publicou um livro no qual dizia que nosso planeta se movia em volta do Sol. No século seguinte, o italiano Galileu Galilei provou que Copérnico estava certo. Com uma luneta, ele identificou luas girando em torno de Júpiter e mostrou, de uma vez por todas, que havia corpos celestes que não orbitavam em volta da Terra.
Os enigmas do Universo atraíam a curiosidade do jovem Kant, que começou sua carreira acadêmica como professor de Matemática e Física. A obra do inglês Isaac Newton, fundamental para essas duas áreas, era uma de suas principais influências. Isso fica claro no subtítulo de História Geral da Natureza e Teoria do Céu, que é: “Ensaio sobre a contribuição e a origem mecânica do Universo na sua totalidade, tratada de acordo com os Princípios de Newton”.
O cientista britânico merecia mesmo ser citado por Kant. Ao publicar Princípios Matemáticos da Filosofia Natural, em 1687, Newton lançou as bases da física contemporânea. É nesse livro que ele introduz a célebre Lei de Atração Gravitacional. Na época era uma novidade, mas hoje todo mundo pode aprender isso no colégio: entre dois corpos existe uma força de atração que aumenta conforme a massa de ambos e diminui conforme o quadrado da distância entre eles. Partindo desse princípio, Newton mostrava que era possível explicar o movimento dos astros.
Naquela época, só seis planetas do sistema solar eram conhecidos: Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter e Saturno (o sétimo planeta, Urano, foi descoberto em 1781). Newton sabia que os planetas tinham órbitas quase circulares ao redor do Sol e ficavam aproximadamente no mesmo plano. O problema era saber como isso tudo teria surgido. Sem encontrar uma explicação científica, Newton disse que isso só poderia ser obra de Deus (veja quadro na página 56). Até o século 17, era comum pensar que a natureza era invariável. Na visão de Newton, depois de terem sido criados, os planetas continuariam se movendo do mesmo jeito eternamente.
Kant rompe com o paradigma anterior e propõe que a configuração do sistema solar não teria sido sempre igual, mas sim o resultado de um processo de evolução. A partir das leis da mecânica newtoniana, ele deduz como teria sido a formação dos corpos siderais e a origem de seus movimentos, desde o início. Das três partes de História Geral da Natureza e Teoria do Céu, duas tratam da formação do sistema solar. Na primeira, após fazer um breve resumo da teoria de Newton, Kant descreve sua visão do Universo. Segundo ele, “as estrelas fixas não estão espalhadas desordenadamente como um formigueiro disperso sem ordem aparente, mas sim como um sistema muito parecido com o dos planetas”. O alemão argumenta que, assim como os planetas do sistema solar, as estrelas também se distribuem ao longo de um só plano, a Via Láctea.
Alguns anos antes da publicação do livro de Kant, o matemático francês Pierre-Louis de Maupertuis havia identificado “nebulosas elípticas”, estrelas muito grandes que, por girarem muito rápido, teriam forma achatada. Em seu livro, Kant discordou, dizendo que essas nebulosas eram, na verdade, imensos conjuntos de estrelas, todas distribuídas ao longo de um mesmo plano. Se elas assumiam a forma de um disco, seria só por causa do ângulo em que podem ser observadas da Terra. Mais tarde, quando essas idéias foram aceitas, passou-se a utilizar o nome “galáxia” para todos os enormes agrupamentos de estrelas fora da Via Láctea (a galáxia onde fica nosso planeta).
Do menor para o maior, Kant propõe que o Universo é formado por estruturas que se repetem. Os planetas possuem satélites orbitando ao seu redor, mas eles próprios também giram em volta de estrelas, formando sistemas planetários. As estrelas, por sua vez, giram em torno de um centro comum, formando as galáxias. Kant chega a propor que inclusive as galáxias também se moveriam ao redor de algum ponto. Essa idéia de que existe uma infinidade de sistemas de mundos é hoje conhecida como “Hipótese dos Universos Ilhas” e continua sendo aceita para descrever o espaço.
Na segunda parte do livro, para explicar a origem dos sistemas planetários, Kant supõe que, no início, a matéria que forma os corpos celestes estaria decomposta e distribuída por todo o espaço, num estado que “parece ser o mais simples que possa existir, depois do nada”. A partir do caos primitivo, a gravidade faria com que as partículas atraíssem umas às outras. Em torno dos pontos mais densos teria havido uma concentração maior de matéria, dando origem a corpos de diferentes massas e tamanhos que se tornariam, assim, estrelas.
O processo de atração gravitacional não pára, fazendo com que partículas continuem sendo atraídas para as estrelas. Mas isso não aconteceria sempre. Para Kant, uma força repulsiva faria com que algumas partículas, ao chegar perto das estrelas, desviassem e passassem a orbitar à sua volta, formando um grande “disco” de matéria. O mesmo processo do início voltaria a acontecer: os pontos mais densos do disco atrairiam partículas, crescendo e se transformando em planetas, que continuariam girando em torno da estrela. Os satélites surgiriam do mesmo jeito, a partir de discos de matéria formados ao redor dos planetas.
A tal força repulsiva imaginada por Kant não existe. Mas uma parte significativa da hipótese dos discos de matéria foi comprovada. Em 1983, os astrônomos americanos Bradford Smith e Richard Terrile descobriram um disco de poeira girando ao redor da jovem estrela Beta Pictoris. Mais recentemente, o telescópio espacial Hubble detectou vários discos de matéria circundando estrelas. Para que a teoria de Kant se confirme, os cientistas precisam achar protoplanetas – embriões de planetas em formação – imersos nesses discos.
No início, as teorias de formação planetária possuíam apenas um exemplo concreto no qual se basear: o Sistema Solar. Nos últimos 15 anos, entretanto, foram detectados mais de 100 planetas girando ao redor de outras estrelas, formando sistemas muito diferentes entre si. Com esse aumento do conhecimento astronômico, surgiram vários modelos de formação planetária. A teoria de Kant, embora tenha sido ajustada  cientificamente nos últimos 250 anos, ainda é a idéia básica de todos eles.
Apesar da sua importância atual, o livro de Kant passou despercebido na sua época. O motivo é prosaico: a gráfica que o publicou foi à falência logo após a sua publicação, sendo que ainda não havia feito a distribuição dos exemplares. Poucas cópias da primeira edição do livro circularam. Kant chegou a incluir parte de suas idéias em outros textos, mas nada tão sofisticado quanto o original. Só no fim do século 19 foi publicada uma segunda edição da obra. Mas, em 1796, o francês Pierre Simon de Laplace propôs uma teoria semelhante à kantiana para explicar a origem do sistema solar. Seria um plágio? Improvável. Aparentemente, os dois abordaram o mesmo problema de maneira equivalente – o que é comum ocorrer na ciência. Hoje as idéias de ambos são conhecidas como Teoria de Kant-Laplace.

Deus tem lugar no céu?

Os pensadores modernos demoraram para deixar a religião de lado na hora de estudar o espaço.
Como seria possível a existência e um sistema solar tão perfeito? No fim do século 17, em busca de uma resposta para essa pergunta, o gênio das ciências exatas Isaac Newton não titubeou: “Essa admirável disposição do Sol, dos planetas e dos cometas não pode ser mais que a obra de um ser onipotente e inteligente”, escreveu ele em Princípios Matemáticos da Filosofia Natural. Já no século 18, Immanuel Kant avançou bastante na explicação da origem dos planetas, mas não descartou totalmente a intervenção divina na história. Segundo ele, no princípio de tudo, Deus teria criado um espaço infinito preenchido com matéria. Em seguida, teria escolhido uma região do Universo a partir da qual esse caos primitivo teria começado a se organizar, graças à ação de forças criadas pelo próprio todo-poderoso (a gravidade, por exemplo). De acordo com a argumentação de Kant, um universo inteiro jamais seria capaz de surgir a partir do nada – como o filósofo alemão não aceitava o acaso como explicação, tudo dependia da tutela divina. Foi só na virada para o século 19 que Pierre Laplace apareceu com uma teoria de formação do Universo totalmente científica, em apelar para a religião. Era uma inovação e tanto, que acabou causando alguns problemas ao cientista. Há relatos de que, certa vez, um livro escrito por ele caiu nas mãos de Napoleão Bonaparte, imperador da França. Intrigado por não ter encontrado nenhuma vez a palavra “Deus” na obra, o governante exigiu explicações. A resposta de Laplace a Napoleão foi curta e grossa: “Senhor, eu não tive necessidade dessa hipótese”.

Aventuras na História n° 031

Tocantins tem uma estrela na bandeira?

Mário Araujo

Sim. Tocantins, assim como todos os estados brasileiros e o Distrito Federal, possui uma estrela estampada na bandeira brasileira, adotada como símbolo nacional em 19 de novembro de 1889, logo após a Proclamação da República. Naquela época, a bandeira possuía apenas 21 estrelas, pois Acre, Amapá, Mato Grosso do Sul, Rondônia, Roraima e Tocantins não eram ainda estados. Hoje, a bandeira tem 27 estrelas – 26 abaixo do lema “Ordem e Progresso” e, acima dele, a que representa o Distrito Federal. A última delas, a de Tocantins, foi incluída em 1992.

“Seu desenho surgiu da modernização da bandeira monárquica criada pelo artista Jean-Baptiste Debret em 1820”, afirma a historiadora Maria Júlia Araújo Feres, da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. As cores faziam referência ao período anterior à República: o verde representava a casa real de Bragança, da qual fazia parte Pedro I, e o amarelo, os Habsburgos, de sua esposa Maria Leopoldina. Hoje, as cores simbolizam as matas e as riquezas do Brasil. Já as estrelas são um registro fiel do céu, visto a olho nu, na cidade do Rio de Janeiro de 15 de novembro de 1889 – um professor de astronomia participou de sua confecção. Seu lema foi inspirado no positivismo, doutrina criada pelo filósofo francês Augusto Comte.
Desde sua criação, as poucas mudanças da bandeira estão relacionadas à inclusão de estrelas, que representam novos estados – isso está previsto na Constituição Brasileira. As novas estrelas são incluídas após reproduções de cálculos astronômicos da época.

Aventuras na História n° 031